Question

5．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB=AC=2$\sqrt{2}$，求正方形ADCE周长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，可得∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，根据等式的性质，可得∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA，根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得AD的长，根据正方形周长公式，可得答案．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC=90°且AB=AC时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC=90°且AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=AB，AD=CD，
即$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，
AD=2，
正方形ADCE周长4AD=4×2=8．

点评 本题考查了的正方形的判定与性质，（1）利用了等腰三角形的性质，矩形的判定；（2）利用了正方形的判定；（3）利用了勾股定理，正方形的周长．