【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B和点C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),抛物线的对称轴为x=1,D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点E为线段BC上一动点,过点E作x轴的垂线,与抛物线交于点F,求四边形ACFB面积的最大值,以及此时点E的坐标.
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PCD为等腰三角形?若存在,写出点P点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)四边形ACFB面积的最大值为,此时点E的坐标为(,﹣);(3)存在满足条件的P点,其坐标为(1,﹣3)或(1,﹣2)或(1,﹣4+)或(1,﹣4﹣)
【解析】
(1)由B、C的坐标,结合抛物线对称轴,根据待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由B、C坐标可求得直线BC解析式,设出F点坐标,则可表示出E点坐标,从而可求得EF的长,则可表示出△CBF的面积,从而可表示出四边形ACFB的面积,再利用二次函数的性质可求其最大值,进而求出E点的坐标;
(3)由抛物线解析式可求得D点坐标,可设P点坐标为(1,t),则可表示出PC、PD和CD的长,由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况,分别得到关于t的方程,即可求得P点坐标.
解:(1)∵点B和点C的坐标分别为(3,0)(0,﹣3),抛物线的对称轴为x=1,
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2))设直线BC解析式为y=kx+b,
代入B(3,0),C(0,﹣3)得,
解得:,
∴直线BC解析式为y=x﹣3,
∵E点在直线BC上,F点在抛物线上,
∴设F(x,x2﹣2x﹣3),E(x,x﹣3),
∵点F在线段BC下方,
∴EF=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△BCF=EFOB=×3(﹣x2+3x)=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,
又∵S△ABC=ABOC=×4×3=6,
∴S四边形ACFB=S△ABC+S△BCF=6﹣(x﹣)2+=﹣(x﹣)2+,
∵﹣<0,
∴当x=时,S四边形ACFB有最大值,最大值为,此时E点坐标为(,﹣),
综上可得:四边形ACFB面积的最大值为,此时点E的坐标为(,﹣);
(3)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4),且C(0,﹣3),
∵P点为抛物线对称轴上的一点,
∴设P(1,t),
∴PC==,PD=|t+4|,CD==,
∵△PCD为等腰三角形,
∴分PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况,
①当PC=PD时,则=|t+4|,解得t=﹣3,
∴此时P点坐标为(1,﹣3);
②当PC=CD时,则=,解得t=﹣2或t=﹣4(与D点重合,舍去),
∴此时P点坐标为(1,﹣2);
③当PD=CD时,则|t+4|=,解得t=﹣4+或t=﹣4﹣,
∴此时P点坐标为(1,﹣4+)或(1,﹣4﹣);
综上可知,存在满足条件的P点,其坐标为(1,﹣3)或(1,﹣2)或(1,﹣4+)或(1,﹣4﹣).
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【题目】如图1,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,,矩形的边,延长交抛物线于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图2,点是直线上方抛物线上的一个动点,过点作轴的平行线交直线于点,作,垂足为.设的长为,点的横坐标为,求与的函数关系是(不必写出的取值范围),并求出的最大值;
(3)如果点是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在一个不透明的袋子中装有大小、形状完全相同的三个小球,上面分别标有1,2,3三个数字.
(1)从中随机摸出一个球,求这个球上数字是奇数的概率是 ;
(2)从中先随机摸出一个球记下球上数字,然后放回洗匀,接着再随机摸出一个,求这两个球上的数都是奇数的概率(用列表或树状图方法)
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【题目】如图,点A是抛物线对称轴上的一点,连接OA,以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′,当O′恰好落在抛物线上时,点A的坐标为______________.
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【题目】在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球,其中 5 个黑球, 从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为依次摸球试验,之后把它放回袋 中,搅匀后,再继续摸出一球.以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表:
摸球试验次数 | 100 | 1000 | 5000 | 10000 | 50000 | 100000 |
摸出黑球次数 | 46 | 487 | 2506 | 5008 | 24996 | 50007 |
根据列表,可以估计出 m 的值是( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
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【题目】如图,中,,于,,为边上一点.
(1)当时,直接写出 , .
(2)如图1,当,时,连并延长交延长线于,求证:.
(3)如图2,连交于,当且时,求的值.
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【题目】(8分)如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1)。
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍画出图形。
(2)写出B、C两点的对应点B、C的坐标;
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M的坐标。
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【题目】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A(2,1),B两点.
(1)求出反比例函数与一次函数的表达式;
(2)请直接写出B点的坐标,并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.
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