Question

5．已知△ABC中，AE平分∠BAC
（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=$\frac{∠B-∠C}{2}$是否成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；
（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°-∠2-∠3计算即可．

解答 证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=72°；
又∵AE平分∠BAC，
∴∠1=$\frac{∠A}{2}$=72°，
∴∠3=∠1+∠C=72°，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠2=90°，
∴∠DAE=180°-∠2-∠3=18°．
（2）成立．
如图2，∵AE平分∠BAC，
∴∠1=$\frac{∠BAC}{2}$=$\frac{180°-∠B-∠C}{2}$=90°-$\frac{∠B}{2}-\frac{∠C}{2}$，
∴∠3=∠1+∠C=90°-$\frac{∠B}{2}$+$\frac{∠C}{2}$，
又∵PF⊥BC于F，
∴∠2=90°，
∴∠EPF=180°-∠2-∠3=$\frac{∠B-∠C}{2}$．

点评 本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，是基础题，准确识别图形是解题的关键．