Question

7．如图，四边形ABCD和AEFG均为正方形，则DG：CF：BE=1：$\sqrt{2}$：1．

Answer 1

分析 连结EG交AB于O，如图，根据正方形的性质得GE⊥AF，AG=AE，OA=OE=OF，则可证明△ADG≌△ABE得到DG=BE，接着设OA=OF=OE=x，AB=BC=a，则BF=a-2x，利用勾股定理可表示出BE²=2x²-2ax+a²，CF²=4x²-2ax+2a²，于是得到CF=$\sqrt{2}$BE，所以DG：CF：BE=1：$\sqrt{2}$：1．

解答 解：连结EG交AB于O，如图，
∵四边形AEFG为正方形，
∴GE⊥AF，AG=AE，OA=OE=OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ADG和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠1=∠2}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABE，
∴DG=BE，
设OA=OF=OE=x，AB=BC=a，则BF=a-2x，
在Rt△BEO中，BE²=OE²+BO²=x²+（a-x）²=2x²-2ax+a²，
在Rt△BCF中，CF²=BC²+BF²=a²+（a-2x）²=4x²-2ax+2a²，
∴CF²=2BE²，
∴CF=$\sqrt{2}$BE，
∴DG：CF：BE=1：$\sqrt{2}$：1．
故答案为1：$\sqrt{2}$：1．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．利用三角形全等是证明线段相等的常用方法．