【题目】如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O,与BC交于点D,点E是弧BD的中点,连接AE交BC于点F,∠ACB=2∠BAE.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若,BD=5,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)3.
【解析】试题分析:(1)连接AD,由圆周角定理得出∠1=∠2.证出∠C=∠BAD.由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD=90°,得出∠BAC=90°,即可得出结论.
(2)过点F作FG⊥AB于点G.由三角函数得出sinB=,设AD=2m,则AB=3m,由勾股定理求出BD=m.求出m=.得出AD=2,AB=3.证出FG=FD.设BF=x,则FG=FD=5-x.由三角函数得出方程,解方程即可.
试题解析:(1)证明:连接AD.
∵ E是弧BD的中点,∴弧BE = 弧ED,∴∠BAD=2∠BAE.
∵,∴∠ACB=∠BAD
∵AB为⊙O直径, ∴∠ADB=90°,∴∠DAC+∠ACB =90°.
∴∠BAC =∠DAC+∠BAD =90°.
∴AC是⊙O的切线.
(2)解:过点F作FG⊥AB于点G.
∵∠BAE=∠DAE,∠ADB=90°,∴GF=DF.
在Rt△BGF中,∠BGF=90°,
设BF=x,则GF=5-x,∴,x=3,即BF=3.
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【题目】如图坐标系中,O(0,0) ,A(6,6),B(12,0).将△OAB沿直线CD折叠,使点A恰好落在线段OB上的点E处,若OE=,则CE : DE的值是______.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
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【题目】已知关于x的方程(a2-1)x2+(1-a)x+a-2=0,下列结论正确的是( )
A. 当a≠±1时,原方程是一元二次方程。
B. 当a≠1时,原方程是一元二次方程。
C. 当a≠-1时,原方程是一元二次方程。
D. 原方程是一元二次方程。
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