Question

【题目】如图,抛物线y=﹣0.5x2+bx+3,与x轴交于点B(﹣2，0)和C,与y轴交于点A,点M在y轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结BM并延长，交抛物线于D,过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；

（3）连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）y=x+x+3；（2）点M的坐标为(2,0)或(2,0)；（3）点M的坐标为(0,10)或(0,10).

【解析】(1)将点B(2,0)代入抛物线的解析式y=0.5x+bx+3得

0.5×(2) 2b+3=0，

∴b=，

∴抛物线的解析式为y=x+x+3.

(2)如图1中，

∵抛物线的解析式为y=x+x+3,

与x轴交于B(2,0),A(3,0),C(0,3)，

∴OA=OC，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∵OM∥DE，

∴△BMO∽△BDE，

∵要使B. D.E为顶点的三角形与△AOC相似，

∴只要△BOM∽△AOC,设M(0,m)，

∴OMOB=OAOC，

∴，

∴m=±2，

∴点M的坐标为(2,0)或(2,0).

(3)如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F.

∵OA=OC,∠AOC=∠GAC=90，

∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45，

∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45，

∴∠FAB=∠OMB,设M(n,0)，

∵∠AFB=∠BOM=90，

∴△AFB∽△MOB，

∴点M的坐标为(0,10)或(0,10).