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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.

(1)求证:PC是⊙O的切线;

(2)求证:BC=AB;

(3)点M是的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MNMC的值.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)MNMC=8.

析】

试题分析:(1)已知C在圆上,故只需证明OC与PC垂直即可;根据圆周角定理,易得∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP;故PC是⊙O的切线;

(2)AB是直径;故只需证明BC与半径相等即可;

(3)连接MA,MB,由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM,进而可得△MBN∽△MCB,故BM2=MNMC;代入数据可得MNMC=BM2=8.

试题解析:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,

∴∠A=∠ACO=∠PCB.又∵AB是⊙O的直径,∴∠ACO+∠OCB=90°.

∴∠PCB+∠OCB=90°.即OC⊥CP,∵OC是⊙O的半径.∴PC是⊙O的切线.

(2)∵AC=PC,∴∠A=∠P,∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.

又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,

∴∠COB=∠CBO,∴BC=OC.∴BC=AB.

(3)连接MA,MB,∵点M是的中点,∴,∴∠ACM=∠BCM.

∵∠ACM=∠ABM,∴∠BCM=∠ABM.∵∠BMN=∠BMC,∴△MBN∽△MCB.

.∴BM2=MNMC.又∵AB是⊙O的直径,

∴∠AMB=90°,AM=BM.∵AB=4,∴BM=2

∴MNMC=BM2=8.

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