【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:BC=AB;
(3)点M是的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MNMC的值.
【答案】(1)见解析;
(2)见解析;
(3)MNMC=8.
【解析】
试题分析:(1)已知C在圆上,故只需证明OC与PC垂直即可;根据圆周角定理,易得∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP;故PC是⊙O的切线;
(2)AB是直径;故只需证明BC与半径相等即可;
(3)连接MA,MB,由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM,进而可得△MBN∽△MCB,故BM2=MNMC;代入数据可得MNMC=BM2=8.
试题解析:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,
∴∠A=∠ACO=∠PCB.又∵AB是⊙O的直径,∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°.即OC⊥CP,∵OC是⊙O的半径.∴PC是⊙O的切线.
(2)∵AC=PC,∴∠A=∠P,∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.
又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,
∴∠COB=∠CBO,∴BC=OC.∴BC=AB.
(3)连接MA,MB,∵点M是的中点,∴,∴∠ACM=∠BCM.
∵∠ACM=∠ABM,∴∠BCM=∠ABM.∵∠BMN=∠BMC,∴△MBN∽△MCB.
∴.∴BM2=MNMC.又∵AB是⊙O的直径,,
∴∠AMB=90°,AM=BM.∵AB=4,∴BM=2.
∴MNMC=BM2=8.
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(1)用含有t的代数式表示AE= .
(2)当t为何值时,平行四边形AQPD为矩形.
(3)如图2,当t为何值时,平行四边形AQPD为菱形.
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