Question

16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，△AEF是等边三角形，如果AB=1，那么CE的长是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．

解答 解：∵四边形正方形ABCD，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，
在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，
在Rt△EFC中，FE²=CF²+CE²，
∴AB²+BE²=CF²+CE²，
∴x²+1=2（1-x）²，
∴x²-4x+1=0，
∴x=2±$\sqrt{3}$，而x＜1，
∴x=2-$\sqrt{3}$，
即BE的长为=2-$\sqrt{3}$，
∴CE=BC-BE=1-（2-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题，难度适中．