Question

11．已知：正方形ABCD，点E在边CD上，点F在线段BE的延长线上，且∠FCE=∠CBE．
（1）如图1，当点E为CD边的中点时，求证：CF=2EF；
（2）如图2，当点F位于线段AD的延长线上，求证：$\frac{EF}{BE}$=$\frac{DE}{DF}$．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到CD=BC，由点E为CD边的中点，得到CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$BC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到DE∥AB，AD∥BC，AD=CD，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{EF}{BE}$=$\frac{DF}{AD}$，等量代换得到$\frac{EF}{BE}=\frac{DF}{CD}$，①根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DF}{CD}$②，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，
∵点E为CD边的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠FCD=∠CBE，∠F=∠F，
∴△FCE∽△FBC，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{CE}{BC}$，
又∵CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{1}{2}$．
即CF=2EF；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥AB，AD∥BC，AD=CD，
∵点F位于线段AD的延长线上，DE∥AB，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{DF}{AD}$，
又∵AD=CD，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DF}{CD}$，①
∵AF∥BC，
∴∠DFE=∠CBE．
又∵∠DCF=∠CBE，
∴∠DFE=∠DCF，
又∵∠FDE=∠CDF，
∴△FDE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DF}{CD}$②，
由①②得，$\frac{EF}{BE}$=$\frac{DE}{DF}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．