Question

8．已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（-2，0），（2，0）．
（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．当k=2$\sqrt{2}$时，点P在直线OD上吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式，利用待定系数求抛物线解析式；
（2）利用抛物线平移的规律得到新抛物线解析式为y=-（x-2$\sqrt{2}$）²+4，则顶点D的坐标为（2$\sqrt{2}$，4），则利用待定系数法可求出直线OD的解析式为y=$\sqrt{2}$x，再解方程-x²+4=-（x-2$\sqrt{2}$）²+4可确定P点坐标为（$\sqrt{2}$，2），然后根据一次函数图象上点的坐标特征可判断点P（$\sqrt{2}$，2）在直线OD上．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-2），
把（0，4）代入得a•2•（-2）=4，解得x=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+2）（x-2），即y=-x²+4；
（2）当k=2$\sqrt{2}$时，点P在直线OD上．理由如下：
把抛物线y=-x²+4向右平移2$\sqrt{2}$个单位所的新抛物线解析式为y=-（x-2$\sqrt{2}$）²+4，则顶点D的坐标为（2$\sqrt{2}$，4），
设直线OD的解析式为y=kx，
把D（2$\sqrt{2}$，4）代入得2$\sqrt{2}$k=4，解得k=$\sqrt{2}$，
所以直线OD的解析式为y=$\sqrt{2}$x，
解方程-x²+4=-（x-2$\sqrt{2}$）²+4得x=$\sqrt{2}$，则P点坐标为（$\sqrt{2}$，2），
当x=$\sqrt{2}$时，y=$\sqrt{2}$x=2，
所以点P（$\sqrt{2}$，2）在直线OD上．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定P点坐标．