Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．

Answer 1

解：（1）将A（1，0）（3，0）代入y=ax²+bx+3得：，
解得：，
∴y=x²-4x+3．

（2）①设F（x，x²-4x+3），若E，F在AB的同侧，则EF=AB=2，
∵点E在抛物线的对称轴上，
∴|x-2|=2，
∴x=0或x=4，
∴F₁（0，3），F₂（4，3）．
②若E，F在AB异侧，则F与抛物线的顶点重合，即F₃（2，-1），
∴存在点F₁（0，3），F₂（4，3），F₃（2，-1），使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形．

（3）连接BC，
∵∠BNC=90°，
∴点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的，
连接OM，
∵OB=OC=3，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∵BC=，
∴OM=
∴=．
分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，可得出a、b的值，继而得出抛物线的解析式；
（2）分两种情况讨论，①E、F在AB同侧，此时EF为平行四边形的边，②E、F在AB异侧，此时EF为平行四边形的对角线，根据平行线的性质即可得出点F的坐标；
（3）连接BC，可得点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的，求出的长度即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质及点的运动轨迹，难点在第三问，连接BC，根据∠BNC=90°，判断出点N的运动路径是解题的关键，此类题目常以压轴题出现，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．