Question

如图，已知⊙M的半径为2cm，圆心角∠AMB=120°，并建立如图所示的直角坐标系．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A、B、C三点抛物线的解析式；
（3）点D是位于AB所对的优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积；
（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知：∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．
∴OM=MB=1，
∴M（0，1）．

（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+c．
∵OC=MC-MO=1，OB=，
∴C（0，-1），B（ ，0）．
∴c=-1，a=．
∴y=x²-1．

（3）∵S_{四边形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC与AB均为定值，
∴当△ABD边AB上的高最大时，S_△ABD最大，此时点D为⊙M与y轴的交点．
∴S_{四边形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=AB•OC+AB•OD
=AB•CD
=4 cm²．

（4）假设存在点P，如下图所示：
方法1：
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°，，
∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°，PB=AB=2 ，PA=PB=6．
设P（x，y）且x＞0，则x=PA•cos30°-AO=3 -=2 ，y=PA•sin30°=3．
又∵P（2 ，3）的坐标满足y=x²-1，
∴在抛物线y=x²-1上，存在点P（2 ，3），
使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2 ，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2 ，3）或（-2 ，3）．
说明：只要求出（2 ，3），（-2 ，3），无最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
当△ABC∽△PAB时，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴点P在直线AM上．
设直线AM的解析式为y=kx+b，
将A（-，0），M（0，1）代入，
解得 ，
∴直线AM的解析式为y=x+1．
解方程组 ，
得P（2 ，3）．
又∵，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在抛物线y=x²-1上，存在点（2 ，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2 ，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2 ，3）或（-2 ，3）．
方法3：
∵△ABC为等腰三角形，且 ，
设P（x，y），则△ABC∽△PAB等价于PB=AB=2 ，PA=AB=6．
当x＞0时，得 ，
解得P（2 ，3）．
又∵P（2 ，3）的坐标满足y=x²-1，
∴在抛物线y=x²-1上，存在点P（2 ，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2 ，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2 ，3）或（-2 ，3）．
分析：（1）在直角△AMO中，根据三角函数就可以求出OM，就可以得到M的坐标．
（2）根据三角函数就可以求出A，B的坐标，抛物线经过点A、B、C，因而M一定是抛物线的顶点．根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（3）四边形ACBD的面积等于△ABC的面积+△ABP的面积，△ABC的面积一定，△ABP中底边AB一定，P到AB的距离最大是三角形的面积最大，即当P是圆与y轴的交点时面积最大．
（4）△PAB和△ABC相似，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出P点的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数的知识，其中涉及了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的对应边的比相等等知识，注意熟练掌握这些知识并灵活应用．