Question

2．如图，已知在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，B点的坐标为（4，8），将矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，点E恰好落在x轴上．
（1）求证：OA=AE；
（2）若GE交AB于点D，求AD的长；
（3）求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）连接BO、BE，根据矩形的性质易得BO=BE，BA⊥OE，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论；
（2）易证△BGD≌△EAD，得到AD=GD，BD=ED，在△EAD中，设AD=x，根据勾股定理列方程即可；
（3）作FH⊥x轴于点H，易证△DAE∽△EHF，根据对应边成比例列方程求出EH，进而求出OH和FH，可知点F的坐标．

解答 解：（1）如图，连接BO、BE，
∵矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，
∴BO=BE，BA⊥OE，
∴OA=AE；
（2）∵矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，
∴AE=OA=BG=90°，
在△BGD和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DAE}\\{∠BDG=∠EDA}\\{AE=GB}\end{array}\right.$，
∴△BGD≌△EAD，
∴AD=GD，BD=ED，
设AD=x，则DE=BD=8-x，
∴x²+4²=（8-x）²，
∴x=3，
即AD=3；
（3）如图，作FH⊥x轴于点H，
∵∠DAE=∠DEF=∠EHF=90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴$\frac{AD}{EH}=\frac{DE}{EF}$，
∴$\frac{3}{EH}=\frac{5}{4}$，
∴EH=$\frac{12}{5}$，
∴FH=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，OH=OE+EH=$\frac{52}{5}$，
∴F（$\frac{52}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题主要考查了图形的旋转、矩形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合应用，通过作辅助线构造全等形和相似形是解决问题的关键．