Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，角平分线BE、CD交于点F，求证：DF=EF．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作出图形，根据三角形的三条角平分线相交于同一点判断出点F在∠A的平分线上，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG=FH，求出∠FDG=∠FEH=75°，然后利用“角角边”证明△DFG和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：证明：如图，∵角平分线BE、CD交于点F，
∴点F在∠A的平分线上，
过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H，
则FG=FH，
∵BE、CD都是角平分线，∠ABC=30°，
∴∠FDG=180°-（90°-30°）-

1

2

×90°=75°，
∠FEH=（90°-30°）+

1

2

×30°=75°，
∴∠FDG=∠FEH=75°，
在△DFG和△EFH中，

∠FDG=∠FEH ∠EHF=∠DGF=90° FG=FH

，
∴△DFG≌△EFH（AAS），
∴DF=EF．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，难点在于根据度数求出相等的角．