Question

14．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，则弦FC和弧FC组成的弓形面积$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB=BC，∠B=∠C=60°，证出△OBD是等边三角形，得出∠BOD=∠C，证出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）先证明△OCF是等边三角形，得出CF=OC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=2，再由三角函数即可求出FH，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OF，如图2所示：
∵OC=OF，∠C=60°，
∴△OCF是等边三角形，
∴∠COF=60°，
CF=OC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°，
∴FH=CF•sin∠C=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴弦FC和弧FC组成的弓形面积=S_扇形COF-S_△COF=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．