Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE=CF；

（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．

（3）求线段OF长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADE≌△CDF，即可得到AE＝CF；

（2）先利用，求得长，再利用，求得，然后设PF=x利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的长；

（3）本题考査了利用三角形全等转化的思想解决问题．

（1）证明：如图1，由旋转得：，，

四边形是正方形，

，，

，

即，

，

在和中，

，

，

；

（2）解：如图2，过作的垂线，交的延长线于，

是的中点，且，

，，三点共线，

，

由勾股定理得：，

，

，

由（1）知：，

，，

，

，

，

，

，

，

设，则，

由勾股定理得：，

或（舍，

，，

由勾股定理得：，

（3）解：如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，

延长到点，使得，连接，

，，

，

，

当最小时，为、、三点共线，

，

，

的最小值是．