Question

如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x²+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

Answer 1

              解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；

由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；

把点C（0，4）代入y=x²+kx+k﹣1，得k﹣1=4，

解得：k=5，

∴此抛物线的解析式为y=x²+5x+4，

∴此抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．

令y=0得x²+5x+4=0，

解得：x₁=﹣1，x₂=﹣4，

∴点B的坐标为（﹣1，0）．

（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴OA=OC=4，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，

∴AC==4，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．

∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．

∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，

∴=，即=，

解得：CD=，

∴OD=CD﹣CO=﹣4=，

∴点D的坐标为（0，﹣）．