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【题目】已知抛物线经过A(2,0). 设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.

(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;

(2)如图,在直线 上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐

标;若不存在,请说明理由;

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使AMP≌△AMB?如果存在试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.

【答案】1P的坐标为(4,B的坐标是(6,0)2D点的坐标为(2, 3存在,证明见解析

【解析】解:(1)抛物线经过A(2,0),

,解得

抛物线的解析式为

顶点P的坐标为(4,)。

令y=0,得,解得

点B的坐标是(6,0)。

(2)在直线 上存在点D,使四边形OPBD为平行四边形。理由如下:

设直线PB的解析式为,把B(6,0),P(4, )分别代入,得

解得

直线PB的解析式为

直线OD的解析式为

直线PBOD

设直线OP的解析式为,把P(4, )代入,得

,解得

如果OPBD,那么四边形OPBD为平行四边形

设直线BD的解析式为,将B(6,0)代入,得

解得

直线BD的解析式为

联立方程组,解

D点的坐标为(2,

(3)符合条件的点M存在验证如下:

过点P作x轴的垂线,垂足为为C,

则PC=,AC=2,

由勾股定理,可得AP=4,PB=4

AB=4,APB是等边三角形

PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM

AM=AMPAM=BAMAB=AP,AMP≌△AMB.(SAS)。

因此即存在这样的点M使AMP≌△AMB.

(1)由抛物线经过A(2,0),代入即可求出b的值;从而得出抛物线的解析式,化为顶点式即可求出顶点P的坐标;令y=0,即可求出点B的坐标。

(2)用待定系数法,求出直线PB、BD的解析式,联立,解之即得点D的坐标。

(3)由勾股定理求出AP、BP和AB的长,证出APB是等边三角形,即可作BP的中垂线AM交BP于点M,点M即为所求。

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A.1B.2C.3D.4

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