Question

【题目】我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．

（1）DE的长为　 　．

（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？

（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；否则，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）5 （2）3秒或13秒 （3）t＝3秒或4秒或秒

【解析】

（1）根据题意可得：CD＝4，根据勾股定理可求DE的长；

（2）若△ABP与△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根据时间路程的关系可求r的值；

（3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三种情况讨论，可求t的值．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC

在Rt△DCE中，DE＝＝＝5

故答案为 5．

（2）若△ABP与△DCE全等

∴BP＝CE或AP＝CE

当BP＝CE＝3时，则t＝＝3秒

当AP＝CE＝3时，则t＝＝13秒

∴求当t为3秒或13秒时，△ABP和△DCE全等．

（3）若△PDE为等腰三角形

则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE

当PD＝DE时，

∵PD＝DE，DC⊥BE

∴PC＝CE＝3

∵BP＝BC﹣CP＝3

∴t＝＝3

当PE＝DE＝5时，

∵BP＝BE﹣PE

∴BP＝9﹣5＝4

∴t＝＝4

当PD＝PE时，

∴PE＝PC+CE＝3+PC

∴PD＝3+PC

在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．

∴（3+PC）2＝16+PC2

∴PC＝

∵BP＝BC﹣PC

∴BP＝

∴t＝＝

综上所述：当t＝3秒或4秒或秒时，△PDE为等腰三角形．