Question

13．如图，一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），其中一次函数与y轴交于B点，且OA=OB．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求△AOB的面积S．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入可先求得直线OA的解析式，可求得OA的长，则可求得B点坐标，可求得直线AB的解析式；
（2）由A点坐标可求得A到y轴的距离，根据三角形面积公式可求得S．

解答 解：
（1）设直线OA的解析式为y=kx，
把A（3，4）代入得4=3k，解得k=$\frac{4}{3}$，
所以直线OA的解析式为y=$\frac{4}{3}$x；
∵A点坐标为（3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OB=OA=5，
∴B点坐标为（0，-5），
设直线AB的解析式为y=ax+b，
把A（3，4）、B（0，-5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=4}\\{b=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=3x-5；
（2）∵A（3，4），
∴A点到y轴的距离为3，且OB=5，
∴S=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键．