Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线y=﹣x交于点N．在直线DN上是否存在点M，使∠MON=75°．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P、Q分别是抛物线y=ax2+bx+c和直线y=﹣x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意把A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax2+bx+c列方程组得：

，解得 ．

∴抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4）

（2）

解：存在．

理由：如图

方法（一）：

由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，

∴EF=DE×tan60°=4 ．∴OF=OE+EF=1+4 ．

∴F点的坐标为（ ，0）．

设过点D、F的直线解析式是y=κx+b，

把D（﹣1，4），F（ ，0）

代入求得 ．

分两种情况：①当点M在射线ND上时，

∵∠MON=75°，∠BON=45°，

∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30°．∴∠MOC=60°．

∴直线OM的解析式为y= x．

∴点M的坐标为方程组． 的解，解方程组得， ．

∴点M的坐标为（ ， ）．

②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°

理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON﹣∠FON=30°．

∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，

综上所述，存在点M，且点M的坐标为（ ， ）．

方法（二）①M在射线ND上，过点M作MP⊥x轴于点P，

由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4

∴EF=DE×tan60°=4 ．∴OF=OE﹢EF=1+4 ．

∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30°．

∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP= OP．

在Rt△MPF中，∵tan∠MFP= ，

∴ = ．

∴OP=2 ﹢ ．∴MP=6﹢ ．

∴M点坐标为（2 ﹢ 、6﹢ ），

②M在射线NF上，不存在点M使得∠MON=75°

理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON﹣∠FON=30°．

∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．

综上所述，存在点M，且点M的坐标为（ ， ）

（3）

解：有两种情况①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．如图2，

∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．

所以点P、B的纵坐标相同都是3．

因为点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，

把y=3代入抛物线的解析式中得x1=0（舍去），x2=﹣2．

由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，

都等于﹣2．把x=﹣2代入y=﹣x得y=2．

所以Q点的坐标为（﹣2，2）．

②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．

如图3，

∵D（﹣1，4），B（0，3），∵PB∥OQ，∴DB∥OQ，

点P在抛物线上，∴点P、D重合．

∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．

∴OF=OE+EF=5．

作QH⊥x轴于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，

∴OQ=FQ．∴OH= OF= ．

∴Q点的横坐标﹣ ．∵Q点在y=﹣x上，∴把x=﹣ 代入y=﹣x得y= ．∴Q点的坐标为（﹣ ， ）．

综上，符合条件的点Q有两个，坐标分别为：（﹣2，2），（﹣ ， ）

【解析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点代入求出a，b，c即可得出解析式；（2）首先求出EF的长进而得出F点的坐标，再分两种情况：①当点M在射线ND上时，∠MON=75°，②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°，分别得出M点的坐标即可；（3）分别根据①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q点的坐标即可．