Question

18．如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{4}$，点C是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据直线解析式求出OB，再求出OA，然后利用勾股定理列式求出AB，然后根据∠CBD=∠ABO，分①BC与AB是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出BD、CD，再写出点C的坐标即可；②BC与BO是对应边时，过点C作CE⊥y轴于E，利用锐角三角函数求出CE、BE，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可．

解答 解：x=0时，y=3，
所以，OB=3，
∵$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{4}$，
∴AO=4，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵点C是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，
∴∠CBD=∠ABO，
①BC与AB是对应边时，
∵△BCD≌△BAO，
∴BD=BO=3，
CD=AO=4，
∴OD=OB+BD=3+3=6，
∴点C（-4，6）；
②BC与BO是对应边时，过点C作CE⊥y轴于E，
∵△BCD≌△BOA，
∴BC=BO=3，
∴CE=BC•sin∠CBD=3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
BE=BC•cos∠CBD=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
若点C在y轴的左边，则OE=OB+BE=3+$\frac{9}{5}$=$\frac{24}{5}$，
此时，点C（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），
若点C在y轴的右边，则OE=OB-BE=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
此时，点C（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
综上所述，存在点C（-4，6）或（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）或（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$），使△BCD与△AOB全等．

点评 本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，锐角三角函数，全等三角形的性质，关键在于根据对顶角相等得到∠CBD=∠ABO，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．