Question

8．如图，连接正方形ABCD的对角线BD，把△BCD绕点B按逆时针方向旋转45°得到△BEG，此时EG交AD于点F．如果AD=1，那么AF=$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 如图，首先运用正方形的性质、旋转变换的性质证明BE=BC=1，BG=BD=$\sqrt{2}$；其次证明DF=GF，此为解决该题的关键性结论；运用勾股定理列出关于DF的方程，求出DF即可解决问题．

解答 解：如图，∵四边形ABCD为正方形，且边长为1，
∴∠C=90°，CD=CB=1，
∴$BD=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$；由题意得：
BE=BC=1，BG=BD=$\sqrt{2}$，
∴DE=AG=$\sqrt{2}$-1；而∠DEF=∠GAF=90°，∠DFE=∠GFA，
∴△DEF∽△GAF，
∴$\frac{DE}{AG}=\frac{DF}{GF}$=1，
∴DF=GF（设为λ），则AF=1-λ，
由勾股定理得：${λ}^{2}=（\sqrt{2}-1）^{2}+（1-λ）^{2}$，
解得：λ=2-$\sqrt{2}$，
∴AF=1-λ=$\sqrt{2}-1$，
故答案为$\sqrt{2}$-1．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、相似三角形的判定、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等知识点，并能灵活运用．