Question

3．如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，P是EB的中点，求证：∠ADE=$\frac{1}{2}$∠CDP．

Answer 1

分析 连接CE并延长交DA的延长线于G，取BC的中点F，连接PF交DC的延长线于H，先证△ADE≌△BCE，得出DE=CE，再证明△AGE≌△BCE，得出GE=CE，得出GE=DE，证出∴∠2=2∠1，然后证明△PBF≌△HCF，得出PB=CH，设正方形边长为4，则AP=3，根据勾股定理求出PD，再得出PD=DH，证出∠3=180°-2∠H，由DE=CE，进一步证出∠3=2∠1，即可得出结论．

解答 证明：连接CE并延长交DA的延长线于G；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD=BC，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△ADE和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠DAE=∠B}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴DE=CE，
在△AGE和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠B=90°}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\\{∠AEG=∠BEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△BCE（ASA），
∴GE=CE，
∴GE=DE，
∴∠1=∠G，
∴∠2=∠1+∠G=2∠1，
取BC的中点F，连接PF交DC的延长线于H，
在△PBF和△HCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠HCF=90°}&{\;}\\{BF=CF}&{\;}\\{∠4=5}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△HCF（ASA），
∴PB=CH，
设正方形边长为4，则AP=3，
∴PD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，DH=DC+CH=DC+BP=5，
∴PD=DH，
∴∠6=∠H，
∴∠3=180°-2∠H，
∵P、F为BE、BC的中点，
∴PF∥EC，
∵DE=CE，
∴∠2=180°-∠7，
∴∠2=∠3，
∴∠3=2∠1，
即∠ADE=$\frac{1}{2}$∠CDP．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题难度较大，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．