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【题目】在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为E,F.

(1)求证:△FOE≌△DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求 的值.

【答案】
(1)

证明:∵EF是△OAB的中位线,

∴EF∥AB,EF= AB,

而CD∥AB,CD= AB,

∴EF=CD,∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,

∴△FOE≌△DOC


(2)

解:∵EF∥AB,

∴∠OEF=∠CAB,

∵在Rt△ABC中,AC= = = BC,

∴sin∠OEF=sin∠CAB= = =


(3)

解:∵AE=OE=OC,EF∥CD,

∴△AEG∽△ACD,

= ,即EG= CD,

同理FH= CD,

= =


【解析】(1)由EF是△OAB的中位线,利用中位线定理,得EF∥AB,EF= AB,又CD∥AB,CD= AB,可得EF=CD,由平行线的性质可证△FOE≌△DOC;(2)由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB,利用sin∠OEF=sin∠CAB= ,由勾股定理得出AC与BC的关系,再求正弦值;(3)由(1)可知AE=OE=OC,EF∥CD,则△AEG∽△ACD,利用相似比可得EG= CD,同理得FH= CD,又AB=2CD,代入 中求值.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和三角形中位线定理的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半才能正确解答此题.

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时间x(天)

1

30

60

90

每天销售量p(件)

198

140

80

20


(1)求出w与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.

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