【题目】在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为E,F.
(1)求证:△FOE≌△DOC;
(2)求sin∠OEF的值;
(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求 的值.
【答案】
(1)
证明:∵EF是△OAB的中位线,
∴EF∥AB,EF= AB,
而CD∥AB,CD= AB,
∴EF=CD,∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,
∴△FOE≌△DOC
(2)
解:∵EF∥AB,
∴∠OEF=∠CAB,
∵在Rt△ABC中,AC= = = BC,
∴sin∠OEF=sin∠CAB= = =
(3)
解:∵AE=OE=OC,EF∥CD,
∴△AEG∽△ACD,
∴ = ,即EG= CD,
同理FH= CD,
∴ = =
【解析】(1)由EF是△OAB的中位线,利用中位线定理,得EF∥AB,EF= AB,又CD∥AB,CD= AB,可得EF=CD,由平行线的性质可证△FOE≌△DOC;(2)由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB,利用sin∠OEF=sin∠CAB= ,由勾股定理得出AC与BC的关系,再求正弦值;(3)由(1)可知AE=OE=OC,EF∥CD,则△AEG∽△ACD,利用相似比可得EG= CD,同理得FH= CD,又AB=2CD,代入 中求值.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和三角形中位线定理的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半才能正确解答此题.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G分别是AB、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由;
(3)求四边形EFGH面积的最小值.
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【题目】班主任张老师为了了解学生课堂发言情况,对前一天本班男、女生发言次数进行了统计,并绘制成如下频数分布折线图(图1).
(1)请根据图1,回答下列问题:
①这个班共有名学生,发言次数是5次的男生有人、女生有人;
②男、女生发言次数的中位数分别是次和次;
(2)通过张老师的鼓励,第二天的发言次数比前一天明显增加,全班发言次数变化的人数的扇形统计图如图2所示,求第二天发言次数增加3次的学生人数和全班增加的发言总次数.
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【题目】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.
(1)求N的函数表达式;
(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B,求PA2+PB2的最大值;
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.
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【题目】九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:元/件),每天的销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元).
时间x(天) | 1 | 30 | 60 | 90 |
每天销售量p(件) | 198 | 140 | 80 | 20 |
(1)求出w与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.
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