Question

【题目】在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．

（1）如图①，若BM2+CN2＝MN2，则∠BAC＝　 　°；

（2）如图②，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H，若AB＝4，CB＝10，求AH的长．

Answer 1

【答案】（1）135；（2）3；

【解析】

（1）连接AM、AN，由勾股定理的逆定理证出△AMN是直角三角形，∠MAN＝90°，证出∠AMN＝2∠B，∠ANM＝2∠C，得出∠AMN+∠ANM＝2（∠B+∠C）＝90°，证出∠B+∠C＝45°，由三角形内角和定理即可得出答案；

（2）先判断出Rt△APH≌Rt△CPE，进而判断出△BPH≌△BPE，根据全等三角形的性质计算即可得出结论．

解：（1）连接AM、AN，如图①所示：

∵AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．

∴BM＝AM，CN＝AN，

∴∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，

∵BM2+CN2＝MN2，

∴AM2+AN2＝MN2，

∴△AMN是直角三角形，∠MAN＝90°，

∵∠AMN＝∠B+∠BAM，∠ANM＝∠C+∠CAN，

∴∠AMN＝2∠B，∠ANM＝2∠C，

∴∠AMN+∠ANM＝2（∠B+∠C）＝90°，

∴∠B+∠C＝45°，

∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣45°＝135°；

故答案为：135；

（2）连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，如图②所示：

∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，

∴PH＝PE，

∵点P在AC的垂直平分线上，

∴AP＝CP，

在Rt△APH和Rt△CPE中，

，

∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL）

∴AH＝CE，

在△BPH和△BPE中，

，

∴△BPH≌△BPE（AAS）

∴BH＝BE，

∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，

∴AH＝（BC﹣AB）＝3．