Question

5．四边形ABCD为矩形，H、F为AD、BC中点，BH、AF、DF、CH是∠B、∠A、∠D、∠C的角平分线，证明EFGH为矩形．

Answer 1

分析 由矩形的性质和已知条件证出四边形AFCH、四边形BFDH是平行四边形，得出AF∥HC，BH∥FD，证出四边形EFGH是平行四边形，再由角平分线证出∠HEF=∠AEB=90°，即可得出四边形EFGH为矩形．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AD∥BC，
∵H、F为AD、BC中点，
∴AH=DH=$\frac{1}{2}$AD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AH=DH=BF=CF，
∴四边形AFCH、四边形BFDH是平行四边形，
∴AF∥HC，BH∥FD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵BH、AF是∠ABC、∠BAD的角平分线，
∴∠ABH=45°，∠BAF=45°，
∴∠HEF=∠AEB=90°，
∴四边形EFGH为矩形．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形为平行四边形是解决问题的关键．