【题目】我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.
概念理解:在“矩形、菱形和正方形”这三种特殊四边形中,不一定是“等邻角四边形”的是______.
问题探究:如图,在等邻角四边形ABCD中,∠B=∠C,AB=3,BC=9,P为线段BC上一动点(不包含端点B,C),Q为直线CD上一动点,连结PA,PQ,在P,Q的运动过程中始终满足∠APQ=∠B,当CQ达到最大时,试求此时BP的长.
应用拓展:在以60°为等角的等邻角四边形ABCD中,∠D=90°,若AB=3,AD=,试求等邻角四边形ABCD的周长.
【答案】概念理解:菱形;问题探究:当CQ达到最大时,此时BP的长是;应用拓展:等邻角四边形ABCD的周长为12+或6-3.
【解析】
概念理解:根据等邻边四边形的定义即可解答;问题探究:设BP=x,CQ=y,则PC=9-x,根据两角对应相等两三角形相似证明△PBA∽△QCP,列比例式可得:,则y=-+3x=-(x-)2+,根据二次函数的最值可得结论;应用拓展:准确画图后作辅助线,构建直角三角形,根据直角三角形30°角的性质和勾股定理可求得四边形各边的长,相加可得周长.
概念理解:
①∵矩形的四个角都是直角,
根据“等邻角四边形”的定义,
得到矩形是“等邻角四边形”;
②同理可得:正方形是“等邻角四边形”,
③∵菱形的对角相等,邻角互补,但不一定相等,
∴菱形不一定是“等邻角四边形”;
故答案为:菱形;
问题探究:
如图,设BP=x,CQ=y,则PC=9-x,
∵∠APB+∠APQ+∠CPQ=180°,
∴∠APB+∠CPQ=180°-∠APQ,
∵∠CPQ+∠C+∠CQP=180°,
∴∠CPQ+∠CQP=180°-∠C,
∵∠C=∠APQ,
∴∠APB+∠CPQ=∠CPQ+∠CQP,
∴∠APB=∠CQP,
∵∠B=∠C,
∴△PBA∽△QCP,
∴,
∴,
∴y=-+3x=-(x-)2+,
∵-<0,
∴当x=时,y有最大值是,
即当CQ达到最大时,此时BP的长是;.
应用拓展:
(3)有两种情况:
①当∠B=∠C=60°时,
如图,延长DA,CB交于E,过B作BF⊥DE于F,
∵∠C=60°,
∴∠E=30°,
∵∠ABC=60°,
∴∠BAE=∠E=30°,
∴AB=BE=3,
∴BF=,EF=AF=,
∴DE=AD+AE=+3=4,
Rt△DCE中,设CD=x,则CE=2x,
由勾股定理得:x2+(4)2=(2x)2,
x=±4,
∴CE=8,CD=4,
∴BC=8-3=5,
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=3+5+4+=12+.
②当∠A=∠B=60°时,如图所示:
延长AD、BC交于点E,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠E=60°,
∵∠ADC=90°,
∴∠DCE=30°,
∵AB=3,AD=,
∴DE=3-,CE=6-2,CD=DE=3-3,
∴BC=3-(6-2)=2-3,
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=3+2-3+3-3+=6-3;
综上,等邻角四边形ABCD的周长为12+或6-3.
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【题目】如图:是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题:
(1)当行使8千米时,收费应为 元;
(2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条)
① ________
②____________________________
(3)求出收费y(元)与行使x(千米)(x≥3)之间的函数关系式.
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【题目】某班准备选一名学生参加数学史知识竞赛,现统计了两名选手本学期的五次测试 成绩:甲:83,80,90,87, 85; 乙:78,92,82,89,84.
(1)请根据上面的数据完成下表:
极差 | 平均数 | 方差 | |
甲 | 10 | ________ | ________ |
乙 | _________ | 85 | 24.8 |
(2)请你推选出一名参赛选手,并用所学的统计知识说明理由.
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【题目】如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱,其中A柱上穿有三个大小不同的圆片,下面的直径总比上面的大现想将这三个圆片移动到B柱上,要求每次只能移动一片叫移动一次,被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面,那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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【题目】如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上,DE∥BC,DF∥AC,若△ADE与四边形DBCE的面积相等,则△DBF与△ADE的面积之比为( )
A. B. C. D. 3-2
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC=CD,∠C=2∠BAD.
(1)求∠BOD的度数;
(2)求证:四边形OBCD是菱形;
(3)若⊙O的半径为r,∠ODA=45°,求△ABD的面积(用含r的代数式表示).
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【题目】如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD⊥CE 于点 D,AC 平分∠DAB.
(1) 求证:直线 CE 是⊙O 的切线;
(2) 若 AB=10,CD=4,求 BC 的长.
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【题目】如图,已知⊙O的直径CD=6,A,B为圆周上两点,且四边形OABC是平行四边形。过A点作直线EF∥BD,分别交CD,CB的延长线于点E,F,AO与BD交于G点.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求AE的长.
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