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【题目】我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.

概念理解:在“矩形、菱形和正方形”这三种特殊四边形中,不一定是“等邻角四边形”的是______

问题探究:如图,在等邻角四边形ABCD中,∠B=CAB=3BC=9P为线段BC上一动点(不包含端点BC),Q为直线CD上一动点,连结PAPQ,在PQ的运动过程中始终满足∠APQ=B,当CQ达到最大时,试求此时BP的长.

应用拓展:在以60°为等角的等邻角四边形ABCD中,∠D=90°,若AB=3AD=,试求等邻角四边形ABCD的周长.

【答案】概念理解:菱形;问题探究:当CQ达到最大时,此时BP的长是;应用拓展:等邻角四边形ABCD的周长为12+6-3

【解析】

概念理解:根据等邻边四边形的定义即可解答;问题探究:设BP=xCQ=y,则PC=9-x,根据两角对应相等两三角形相似证明△PBA∽△QCP,列比例式可得:,则y=-+3x=-x-2+,根据二次函数的最值可得结论;应用拓展:准确画图后作辅助线,构建直角三角形,根据直角三角形30°角的性质和勾股定理可求得四边形各边的长,相加可得周长.

概念理解:

①∵矩形的四个角都是直角,

根据“等邻角四边形”的定义,

得到矩形是“等邻角四边形”;

②同理可得:正方形是“等邻角四边形”,

③∵菱形的对角相等,邻角互补,但不一定相等,

∴菱形不一定是“等邻角四边形”;

故答案为:菱形;

问题探究:

如图,设BP=xCQ=y,则PC=9-x

∵∠APB+APQ+CPQ=180°,

∴∠APB+CPQ=180°-∠APQ

∵∠CPQ+C+CQP=180°,

∴∠CPQ+CQP=180°-∠C

∵∠C=APQ

∴∠APB+CPQ=CPQ+CQP

∴∠APB=CQP

∵∠B=C

∴△PBA∽△QCP

y=-+3x=-x-2+

-0

∴当x=时,y有最大值是

即当CQ达到最大时,此时BP的长是;.

应用拓展:

3)有两种情况:

①当∠B=C=60°时,

如图,延长DACB交于E,过BBFDEF

∵∠C=60°,

∴∠E=30°,

∵∠ABC=60°,

∴∠BAE=E=30°,

AB=BE=3

BF=EF=AF=

DE=AD+AE=+3=4

RtDCE中,设CD=x,则CE=2x

由勾股定理得:x2+42=2x2

x4

CE=8CD=4

BC=8-3=5

∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=3+5+4+=12+

②当∠A=B=60°时,如图所示:

延长ADBC交于点E

∵∠A=B=60°,

∴△ABE是等边三角形,

∴∠E=60°,

∵∠ADC=90°,

∴∠DCE=30°,

AB=3AD=

DE=3-CE=6-2CD=DE=3-3

BC=3-6-2=2-3

∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=3+2-3+3-3+=6-3

综上,等邻角四边形ABCD的周长为12+6-3

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