Question

如图1，矩形纸片ABCD的边长AB=4cm，AD=2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：
（1）GF

=

FD：（直接填写=、＞、＜）
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）小明通过此操作有以下两个结论：
①四边形EBCF的面积为4cm²
②整个着色部分的面积为5.5cm²
运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．

Answer 1

分析：（1）根据翻折的性质解答；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF=∠CFE，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠FEC，从而得到∠CFE=∠FEC，根据等角对等边可得CE=CF，从而得解；
（3）①根据翻折的性质可得AE=EC，然后求出AE=CF，再根据图形的面积公式列式计算即可得解；
②设GF=x，表示出CF，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理列式求出GF，根据三角形的面积公式求出S_GFC，然后计算即可得解．

解答：解：（1）由翻折的性质，GD=FD；

（2）△CEF是等腰三角形．
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠AEF=∠CFE，
由翻折的性质，∠AEF=∠FEC，
∴∠CFE=∠FEC，
∴CF=CE，
故△CEF为等腰三角形；

（3）①由翻折的性质，AE=EC，
∵EC=CF，
∴AE=CF，
∴S_{四边形EBCF}=

1

2

（EB+CF）•BC=

1

2

AB•BC=

1

2

×4×2×

1

2

=4cm²；
②设GF=x，则CF=4-x，
∵∠G=90°，
∴x²+2²=（4-x）²，
解得x=1.5，
∴S_GFC=

1

2

×1.5×2=1.5，
S_着色部分=1.5+4=5.5；
综上所述，小明的结论正确．

点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键．