Question

18．等腰直角△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式．
（2）当点P运动几秒时，有S_△PCQ=S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=$\frac{1}{2}$QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系；
（2）另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．

解答 解：（1）过P点作PE⊥AC于E．
当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t
∴s=$\frac{1}{2}$×t×（10-t）=$\frac{1}{2}$（10t-t2）
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t-10
∴s=$\frac{1}{2}$×t×（t-10）=$\frac{1}{2}$（t²-10t）；

（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=50，
∴当t＜10秒时，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（10t-t2）=50，
整理得t²-10t+100=0无解（6分）
当t＞10秒时，S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（t²-10t）=50，
整理得t²-10t-100=0解得t=5±5$\sqrt{5}$（舍去负值），
∴当点P运动5+5$\sqrt{5}$秒时，S_△PCQ=S_△ABC．

点评 考查了一元二次方程的应用，做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．