Question

如图①，点A，F，E，C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC于E、F，若AB=CD．
（1）图①中有

3

对全等三角形，并把它们写出来

△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BGF≌△DGE

；
（2）BD与EF互相平分吗？请说明理由；
（3）若将△ABF向AC方向平移变为图②时，其余条件不变，第（2）题结论是否还成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知AE=CF，可推出AF=CE，再DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD，所以得△ABF≌△CDE，从而得∠A=∠C，则∠ABG=∠CDG，所以△ABG≌△CDG，由△ABF≌△CDE得BF=DE，再DE⊥AC，BF⊥AC，所以得△BGF≌△DGE，共3对全等三角形；
（2）首先由题意推出BF∥DE，AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，推出△BFA≌△DEC，可得BF=DE，从而证得△BFG≌△DEG，即可推出BD与EF互相平分．
（3）AE=CF，可得：AF=CE，再由DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD，推出Rt△BFA和Rt△DEC全等，根据全等三角形的性质，即可推出BF=DE，然后通过求证△BFG和△DEG全等，即可推出结论．

解答：解：（1）∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=∠BFG=∠DEG=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴∠A=∠C，BF=DE，
∴AB∥CD，
∴∠ABG=∠CDG，
在△ABG和△CDG中，

∠A=∠C ∠AGB=∠CGD AB=CD

，
∴△ABG≌△CDG（AAS），
在△BFG和△DGE中，

∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE

，
∴△BGF≌△DGE（AAS），
∴共3对全等三角形；
分别是：△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BGF≌△DGE，
故答案为：3；△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BGF≌△DGE．

（2）BD与EF互相平分．
理由：∵△BGF≌△DGE，
∴BG=DG，FG=EG，
∴BD与EF互相平分，

（3）结论还成立；
理由：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=∠BFG=∠DEG=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE，
在△BFG和△DGE中，

∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE

，
∴△BGF≌△DGE（AAS），
∴EG=FG，BG=DG，
∴BD与EF互相平分，即结论成立．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．