Question

如图，在锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，已知∠BMC=100°，求∠BNC的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：设∠ECG=x°，∠DBF=y°，根据垂直求出∠BEM=∠CDM=90°，求出∠EBM=∠DCM=10°，根据角平分线定义求出∠ABF=∠CBF=10°-y°，∠ACG=∠BCG=10°+x°，在△EGC中根据三角形内角和定理和三角形外角性质得出∠GEC+∠ECG+∠EGC=180°，∠EGC=∠ABC+∠BCG，代入求出x°-y°=30°，根据三角形内角和定理求出即可．

解答：解：设∠ECG=x°，∠DBF=y°，
∵BD和CE是两条高，
∴∠BEM=∠CDM=90°，
∵∠BMC=100°，
∴∠EBM=∠DCM=100°-90°=10°，
∵BF和CG是两条角平分线，
∴∠ABF=∠CBF=10°-y°，∠ACG=∠BCG=10°+x°，
∵在△EGC中，∠GEC+∠ECG+∠EGC=180°，∠EGC=∠ABC+∠BCG，
∴x°+2（10°-y°）+10°+x°+90°=180°，
∴x°-y°=30°，
∴在△BNC中，∠BNC=180°-（∠NBC+∠NCB）=180°-（10°+x°+10°-y°）
=160°-（x°-y°）
=160°-30°
=130°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出x°-y°=30°和求出∠BNC=160°-（x°-y°），题目比较好，难度适中．