Question

已知：E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD一点，AE平分∠BAF．
求证：AF=BC+CF．

Answer 1

分析：证法1：作EM⊥AF于M，连接EF，根据已知和正方形的性质分别证明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，FM=FC，从而得出结论．
证法2：过中点E作EM∥AB，交AF于M．通过中位线的性质证明EM=

1

2

（AB+CF），从而得出结论．

解答：证法1：作EM⊥AF于M．∵∠B=90°，
∴∠B=∠AME=90°，
∵∠1=∠2，AE是公共边，
∴BE=EM，∴Rt△ABE≌Rt△AME．∴AM=AB=BC，EM=BE．①
连接EF，E是BC中点，∴EC=BE=EM∴Rt△EMF≌Rt△ECF，∴FM=FC、②
综合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．

证法2：过中点E作EM∥AB，交AF于M．则AM=MF，且∠1=∠2=∠3．
∴EM=AM=

1

2

AF
∵EM=

1

2

（AB+CF），
∴AF=AB+CF=BC+CF．

点评：本题考查了正方形的性质，及全等三角形的判定和性质．合理的将AF分成与BC，CF相等的两份是解题的关键，本题难度较大．