Question

12．如图，点A是y轴上的点，线段AB∥x轴，M是OA的中点，连接BM并延长交x轴与点C，二次函数y=ax²-2ax+4的图象经过A，B，C的三点，与x轴的另一交点为D．
（1）点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，4）；
（2）求二次函数的表达式；
（3）在线段CD上有动点P（不与C，D重合），过P作PE⊥x轴交直线BC于E，以PE为边在PE的右侧作正方形PEFG，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线y=ax²-2ax+4，令x=0得y=4，可得A（0，4），由题意A、B关于对称轴对称，由此可以求出B坐标．
（2）由△ABM≌△OCM，得到C（-2，0），把C（-2，0）代入抛物线的解析式即可求出a，解决问题．
（3）如图2中，设P（m，0）．根据条件可推出F（2m+2，m+2），把F坐标代入抛物线解析式求出m，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

对于抛物线y=ax²-2ax+4，令x=0得y=4，∴A（0，4），
对称轴x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵AB∥x轴，
∴A、B关于对称轴对称，
∴B（2，4），AB=2，
故答案为（0，4），（2，4）．

（2）∵AB∥OC，
∴∠ABM=∠OCM，
在△ABM和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠OCM}\\{∠AMB=∠OMC}\\{AM=OM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△OCM，
∴OC=AB=2，
∴C（-2，0），
把C（-2，0）代入y=ax²-2ax+4得
4a+4a+4=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（3）如图2中，设P（m，0）．

∵C（-2，0），B（2，4），
∴直线BC的解析式为y=x+2，
∴E（m，m+2），
∵四边形EFGP是正方形，
∴PE=EF=PG=FG=m+2，
∴F（2m+2，m+2），
∵点F在抛物线上，
∴m+2=-$\frac{1}{2}$（2m+2）²+2m+2+4，
整理得到2m²+3m-2=0，
解得m=$\frac{1}{2}$或-2（舍弃），
∴点P坐标（$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．