Question

15．如图，正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别是边BC、CD上的两点，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH．以下结论正确的是①②④．
①AG=1；②△CEF的周长是定值，定值是2；③DF²+BE²=EF²；④DN²+BM²=MN²．

Answer 1

分析 由正方形的性质得AB=AD=1，∠BAC=∠ADC=∠ABC=90°，于是可把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABP，如图，根据旋转得性质得AP=AF，BP=DF，∠ABP=∠ADC=90°，∠PAF=∠BAD=90°，易得点P在CB的延长线上，再证明△AEP≌△AEF得到EP=EF，根据全等三角形的对应边上的高相等得到AG=AB=1，可对①进行判断；所以EF=EP=BE+BP=BE+DF，则可对③进行判断；同时可计算出△CEF的周长=2，则可对②进行判断；连结NH，如图，根据正方形的性质得∠ABD=∠ADB=45°，再根据旋转的性质得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABM=45°，∠MAH=90°，由于∠MAN=45°，则∠NAH=45°，可计算出∠NDH=90°，根据勾股定理得DN²+DH²=NH²，则DN²+BM²=NH²，然后证明△ANM≌△ANH得到MN=NH，则可对④进行判断．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=1，∠BAC=∠ADC=∠ABC=90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABP，如图，
∴AP=AF，BP=DF，∠ABP=∠ADC=90°，∠PAF=∠BAD=90°，
∴∠ABP+∠ABC=180°，即点P在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠PAE=45°，
在△AEP和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠PAE=∠EAF}\\{AP=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△AEF，
∴EP=EF，
∵AG⊥EF，AB⊥EP，
∴AG=AB=1，所以①正确；
∵EF=EP=BE+BP=BE+DF，所以③错误；
∴△CEF的周长=EF+CE+CF=BE+EC+CF+DF=CB+CD=1+1=2，所以②正确；
连结NH，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABM=45°，∠MAH=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠NAH=45°，
∴∠NDH=45°+45°=90°，
∴DN²+DH²=NH²，
∴DN²+BM²=NH²，
在△ANM和△ANH中
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{∠MAN=∠HAN}\\{AM=AH}\end{array}\right.$，
∴△ANM≌△ANH，
∴MN=NH，
∴DN²+BM²=MN²，所以④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．