Question

20．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转得到△ADE．设旋转角度为α度（0°＜α＜120°），AD交BC于点F，DE分别交BC、AC于点G、H．试探究以下问题：
（1）当α=60°或90°时，△ABF为直角三角形；
（2）当BF=2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，△ABF为等腰三角形；
（3）当△ADH为等腰三角形时，求BF的值；
（4）连接BD，是否存在角α，使得四边形ABDH为平行四边形？如果存在，直接写出α的大小；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情况：①当∠AFB=90°时；由角的互余关系即可求出结果；②当∠BAF=90°时，即α=90°；
（2）分两种情况：①当BF=AB时，BF=AB=2；②当BF=AF时，α=∠B=30°，作FM⊥AB于M，由等腰三角形的性质得出BM=$\frac{1}{2}$AB=1，由三角函数求出BF即可；
（3）分两种情况：①当AD=DH时；作FN⊥AB于N，设FN=x，则BF=2x，BN=$\sqrt{3}$x，AN=FN=x，根据题意得出方程，解方程即可得出结果；
②当AH=DH时，∠DAH=∠D=30°，由三角函数即可求出BF；
（4）若四边形ABDH为平行四边形，则AB∥DH，得出α=∠D=30°，由等腰三角形的性质得出∠ADB≠∠DAH，得出BD与AH不平行，即可得出结论．

解答 解：（1）分两种情况：
①当∠AFB=90°时，α=90°-∠B=60°；
②当∠BAF=90°时，即α=90°；
∴当α=60°或90°时，△ABF为直角三角形；
故答案为：60°或90°；
（2）分两种情况：①当BF=AB时，BF=AB=2；
②当BF=AF时，α=∠B=30°，
作FM⊥AB于M，如图1所示：
则BM=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵cos∠B=$\frac{BM}{BF}$，
∴BF=$\frac{BM}{cos30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
综上所述，当BF=2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，△ABF为等腰三角形；
故答案为：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）分两种情况：
①当AD=DH时，∠DAC=∠AHD=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠BAD=45°，
作FN⊥AB于N，如图2所示：
设FN=x，则BF=2x，BN=$\sqrt{3}$x，AN=FN=x，
则$\sqrt{3}$x+x=2，
解得：x=$\sqrt{3}$-1，
∴BF=2$\sqrt{3}$-2；
②当AH=DH时，∠DAH=∠D=30°，
∴∠BAF=120°-30°=90°，
∵cos∠B=$\frac{AB}{BF}$，
∴BF=$\frac{AB}{cos30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
综上所述：当△ADH为等腰三角形时，BF的值为2$\sqrt{3}$-2或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（4）不存在，理由如下：
若四边形ABDH为平行四边形，
则AB∥DH，
∴α=∠D=30°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=75°，
∵AB=AC=2，∠B=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠DAH=90°，∠ADB≠∠DAH，
∴BD与AH不平行，
∴四边形ABDH不是平行四边形；
∴不存在角α，使得四边形ABDH为平行四边形．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角函数、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要进行分类讨论才能得出结果．