Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）直线L：y=-x+2是否经过抛物线的顶点；
（2）设该抛物线与x轴交于M、N两点，当OM•ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）将y=-x²+2mx-m²-m+2配方得：
y=-（x-m）²-m+2，
由此可知，抛物线的顶点坐标是：
（m，-m+2），
把x=m代入y=-x+2得：
y=-m+2，
显然直线y=-x+2经过抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2的顶点；

（2）设M、N两点的横坐标分别为x₁，x₂，则x₁，x₂是方程，
-x²+2m-m²-m+2=o的两个实数根，
∴x₁•x₂=m²+m-2，
∵OM•ON=4，
即|x₁•x₂|=4，
∴m²+m-2=±4，
当m²+m-2=4时，
解得m₁=-3，m₂=2，
当m=2时，可得：
OM=ON不合题意，
所以m=-3，
当m²+m-2=-4时，
方程设有实数根，
因此所求的抛物线的解析式只能是：
y=-x²-6x-4．
分析：（1）将y=-x²+2mx-m²-m+2配方得出顶点坐标，即可得出直线y=-x+2是否经过二次函数的顶点坐标；
（2）利用根与系数的关系得出x₁•x₂=m²+m-2，再得出|x₁•x₂|=4，进而得出m的值，求出二次函数解析即可．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据解析式求出二次函数的顶点坐标是考查重点同学们应重点掌握．