Question

18．关于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x₁，x₂满足k|$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$|=kx₁-12x₂+2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义及一元二次方程的定义得出△=b²-4ac=（k+2）²-4×k×$\frac{k}{4}$≥0，且k≠0，解不等式即可；
（2）由根与系数关系以及一元二次方程的解的定义得出x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$＞0，kx₁²+（k+2）x₁+$\frac{k}{4}$=0，那么|$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$|=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，kx₁²=-（k+2）x₁-$\frac{k}{4}$．将它们代入k|$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$|=kx₁-12x₂+2，整理得出kx₂=-（k+2）x₁-$\frac{k}{4}$-12×$\frac{1}{4}$+2x₁，解方程即可求出k=$\frac{4}{3}$．

解答 解：（1）∵关于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个实数根，
∴△=b²-4ac=（k+2）²-4×k×$\frac{k}{4}$≥0，且k≠0，
解得：k≥-1．
∴k的取值范围是：k≥-1，且k≠0；

（2）∵方程的两个实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$＞0，kx₁²+（k+2）x₁+$\frac{k}{4}$=0，
∴|$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$|=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，kx₁²=-（k+2）x₁-$\frac{k}{4}$．
∵k|$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$|=kx₁-12x₂+2，
∴k$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=kx₁-12x₂+2，
∴kx₂=kx₁²-12x₁•x₂+2x₁，
∴kx₂=-（k+2）x₁-$\frac{k}{4}$-12×$\frac{1}{4}$+2x₁，
解得k=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．还考查了一元二次方程的解的定义．