Question

20．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$交x轴正半轴于点A，点P是x轴上方的抛物线上一动点，以PA为边作正方形APFG，当顶点G恰好落在y轴上时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 PH⊥x轴于H，如图，利用正方形的性质得AP=AG，∠PAG=90°，再利用等角的余角相等得∠PAH=∠OAG，则可根据“AAS”证明△APH≌△GAO，得到PH=OA，接着利用抛物线与x轴的交点问题求出A（2，0），于是得到PH=2，然后求函数值为2的自变量即可得到满足条件的P点坐标．

解答 解：PH⊥x轴于H，如图，
∵四边形APFG为正方形，
∴AP=AG，∠PAG=90°，
∴∠PAH+∠OAG=90°，
而∠PAH+∠APH=90°，
∴∠PAH=∠OAG，
在△APH和△GAO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PHA=∠AOG}\\{∠APH=∠GAO}\\{AP=GA}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△GAO，
∴PH=OA，
当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$=0，解得x₁=2，x₂=-5，则A（2，0），
∴OA=2，
∴PH=2，
当y=2时，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$=2，解得x₁=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴P（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了正方形的性质和利用三角形全等解决线段相等的问题．