Question

14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O是AB边上的一个动点，AO=m，且⊙O的半径长为1，求：
（1）线段AC与⊙O没有公共点时m的取值范围
（2）线段AC与⊙O有两个公共点时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性质，求得当圆和AC相切时OA的长，据此即可求解；
（2）根据相切时OA的长，即可求解．

解答 解：（1）作OE⊥AC于点E，当OE=1时，
△AOE∽△ACB，
则$\frac{OA}{AC}$=$\frac{OE}{BC}$，即$\frac{OA}{5}$=$\frac{1}{4}$，解得：OA=$\frac{5}{4}$．
则当$\frac{5}{4}$＜m≤3时，线段AC与⊙O没有公共点；
（2）当0≤m＜$\frac{5}{4}$时，线段AC与⊙O有两个公共点．

点评 本题考查了相似三角形的性质以及直线和圆的位置关系，求得相切时OA的长是关键．