Question

9．已知：关于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（其中m为实数）．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过x轴上的一个固定点，并求出当这个固定点和抛物线与x轴另一交点之间的距离等于2时的m的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意b²-4ac＞0，列出不等式，解不等式即可；
（2）令y=0即可确定出抛物线过x轴上的固定点坐标．

解答 （1）解：根据题意，得△=（m-2）²-4×（m-1）×（-1）＞0，即m²＞0，
解得m＞0或m＜0①，
又∵m-1≠0，
∴m≠1②，
由①②，得m＜0，0＜m＜1或m＞1；

（2）证明：由y=（m-1）x²+（m-2）x-1，得y=[（m-1）x-1]（x+1），
抛物线y=[（m-1）x-1]（x+1）与x轴的交点就是方程[（m-1）x-1]（x+1）=0的两根，
解得x=-1或$\frac{1}{m-1}$，
∴无论m取何值，抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1总过x轴上的一个固定点（-1，0）．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，以及根的判别式，在解一元二次方程的根时，利用根的判别式△=b²-4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；熟练掌握因式分解法是解题的关键．