Question

探究并证明以下问题：
（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，点BO为线段上任意一点，以AP为边作等边三角形APF．连结BF，求证：BF=OP．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连结BF，直接写出BF与CP的数量关系

 

．
（3）如图3，在菱形ABCD中，AB：AC=m：n，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足∠ABC=∠AFP，连结BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质以及正方形的性质得出AB=AO，∠PAO=60°-∠BAP，进而证明△FAB≌△PAO即可得出答案；
（2）连接AC、AF、PF、BQ，过P作PQ⊥AC于Q，根据正方形的性质求出∠BFP=∠BQP，∠FBP=∠QPB，根据全等三角形的判定推出两三角形全等，根据全等三角形的性质求出BF=PQ，根据等腰直角三角形性质即可得出答案；
（3）首先利用菱形的性质得出，FA=FP，进而得出△FAP∽△BAC，以及△FAB∽△PAC，即可得出BF与CP的数量关系．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO，∠PAO=60°-∠BAP，
在△FAB和△PAO中，

AB=AO ∠FAB=∠OAP AF=AP

，
∴△FAB≌△PAO（SAS），
∴BF=OP；

（2）连接AC、AF、PF、BQ，过P作PQ⊥AC于Q，
∵四边形ABCD是正方形，F为正方形APMN的中心，
∴∠ACB=∠APF=45°，∠AFP=∠ABC=90°，
∴A、F、B、P四点共圆，
∴∠ABF=∠ABF=45°，∠BFP=∠BAP，
同理∠ABP=∠AQP=90°，
∴∠ABP+∠AQP=180°，
∴∠BAP=∠BQP，
∴∠BFP=∠PQB，
∵PQ⊥AC，
∴∠QPC=∠ACB=45°，
∴∠FBP=∠QPB=90°+45°=135°，
在△FBP和△QPB中，

∠BFP=∠PQB ∠FBP=∠QPB BP=BP

，
∴△FBP≌△QPB（AAS），
∴BF=PQ，
∵∠PQC=90°，∠ACB=∠QPC=45°，
∴PQ=

2

2

CP，
∴BF=

2

2

CP，
故答案为：BF=

2

2

CP．

（3）BF=

m

n

CP．
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC），
∵四边形AFPM是菱形，
∴FA=FP，
∴∠FAP=

1

2

（180°-∠AFP），
∵∠ABC=∠AFP，
∴∠BAC=∠FAP，
∴△FAP∽△BAC，
∴

AF

AB

=

AP

AC

即

AF

AP

=

AB

AC

，
∵∠FAB=∠FAP-∠BAP，∠PAC=∠BAC-∠BAP，
∴∠FAB=∠PCA，
∴△FAB∽△PAC，
∴

BF

CP

=

AB

AC

=

m

n

，
即BF=

m

n

CP．

点评：本题考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．