Question

17．已知二次函数y=x²+bx+c的图象与y轴交于点C（0，-3），与x轴的一个交点坐标是A（-1，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移$\frac{3}{2}$个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围．

解答 解：
（1）∵把C（0，-3）代入抛物线的解析式得：C=-3，把A（-1，0）代入y=x²+bx-3得：b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
∴y=（x-1）²-4．
∴抛物线的顶点坐标D（1，-4）；
（2）二次函数的图形沿x轴向左平移$\frac{3}{2}$个单位长度得：y=（x-1+$\frac{3}{2}$）²-4=（x+$\frac{1}{2}$）²-4，
令y=0得：（x+$\frac{1}{2}$）²-4=0，解得：x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=-$\frac{5}{2}$．
∵a＞0，
∴当y＜0时，x的取值范围是-$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．