【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:将点B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=x2+bx+c中,
得: ,解得:
,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3
(2)解:设点M的坐标为(m,m2﹣4m+3),设直线BC的解析式为y=kx+3,
把点点B(3,0)代入y=kx+3中,
得:0=3k+3,解得:k=﹣1,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.
∵MN∥y轴,
∴点N的坐标为(m,﹣m+3).
∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线的对称轴为x=2,
∴点(1,0)在抛物线的图象上,
∴1<m<3.
∵线段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣ +
,
∴当m= 时,线段MN取最大值,最大值为
(3)解:假设存在.设点P的坐标为(2,n).
当m= 时,点N的坐标为(
,
),
∴PB= =
,PN=
,BN=
=
.
△PBN为等腰三角形分三种情况:
①当PB=PN时,即 =
,
解得:n= ,
此时点P的坐标为(2, );
②当PB=BN时,即 =
,
解得:n=± ,
此时点P的坐标为(2,﹣ )或(2,
);
③当PN=BN时,即 =
,
解得:n= ,
此时点P的坐标为(2, )或(2,
).
综上可知:在抛物线的对称轴l上存在点P,使△PBN是等腰三角形,点P的坐标为(2, )、(2,﹣
)、(2,
)、(2,
)或(2,
)
【解析】(1)由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)设出点M的坐标以及直线BC的解析式,由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,结合点M的坐标即可得出点N的坐标,由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式,再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围,利用二次函数的性质即可解决最值问题;(3)假设存在,设出点P的坐标为(2,n),结合(2)的结论可求出点N的坐标,结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度,根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值,从而得出点P的坐标.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和两点间的距离,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小;同轴两点求距离,大减小数就为之.与轴等距两个点,间距求法亦如此.平面任意两个点,横纵标差先求值.差方相加开平方,距离公式要牢记即可以解答此题.
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【题目】舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额及增速统计图如图:
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数.
(2)求舟山市2010﹣2014年社会消费品零售总额这组数据的平均数.
(3)用适当的方法预测舟山市2015年社会消费品零售总额(只要求列式说明,不必计算出结果).
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长DB交CF于点H.
①求证:BD⊥CF.
②当AB=2,AD=3 时,求线段BD的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,1),(﹣1,0).一个电动玩具从坐标原点0出发,第一次跳跃到点P1 . 使得点P1与点O关于点A成中心对称;第二次跳跃到点P2 , 使得点P2与点P1关于点B成中心对称;第三次跳跃到点P3 , 使得点P3与点P2关于点C成中心对称;第四次跳跃到点P4 , 使得点P4与点P3关于点A成中心对称;第五次跳跃到点P5 , 使得点P5与点P4关于点B成中心对称;…照此规律重复下去,则点P7的坐标是 , 点P2016的坐标为
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,如图,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为庆祝中国共产党建党90周年,6月中旬我市某展览馆进行党史展览,把免费参观票分到学校.展览馆有2个验票口A、B(可进出),另外还有2个出口C、D(不许进).小张同学凭票进入展览大厅,参观结束后离开.
(1)小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式?(要求用列表或树状图)
(2)小张不从同一个验票口进出的概率是多少?
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