【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长DB交CF于点H.
①求证:BD⊥CF.
②当AB=2,AD=3 时,求线段BD的长.
【答案】
(1)
解:如图2中,BD=CF成立.
理由:由旋转得:AC=AB,∠CAF=∠BAD=θ;AF=AD,
在△ABD和△ACF中,
,
∴△ABD≌△ACF,
∴BD=CF
(2)
①证明:如图3中,
由(1)得,△ABD≌△ACF,
∴∠HFN=∠ADN,
∵∠HNF=∠AND,∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°,
∴HD⊥HF,即BD⊥CF.
②如图4中,连接DF,延长AB,与DF交于点M.
∵四边形ADEF是正方形,
∴∠MDA=45°,
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA,∠AMD=90°,
∴AM=DM,
∵AD=3 ,
在△MAD中,AM2+DM2=AD2,
∴AM=DM=3,
∴MB=AM﹣AB=3﹣2=1,
在△BMD中,BM2+DM2=BD2,
∴BD= =
【解析】(1)结论:BD=CF.只要证明△ABD≌△ACF即可.(2)①在利用“8字型”证明∠FHN=∠DAN=90°,即可解决问题.②如图4中,连接DF,延长AB,与DF交于点M.在Rt△BDM中,切线BM、DM,再利用勾股定理即可解决问题.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x>0)的图象与直线y=x﹣2交于点A(3,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x﹣2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y= (x>0)的图象于点N. ①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;
②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.
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【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E在边AD上,CE与BD相交于点F,AD=4,AB=5,BC=BD=6,DE=3.
(1)求证:△DFE∽△DAB;
(2)求线段CF的长.
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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动.设P点运动的时间为t,△APQ的面积为S,则S与t的函数关系的图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
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【题目】如图,在直角坐标系中,线段AB的两个端点的坐标分别为A(﹣3,0),B(0,4).
(1)画出线段AB先向右平移3个单位,再向下平移4个单位后得到的线段CD,并写出A的对应点D的坐标,B的对应点C的坐标;
(2)连接AD、BC,判断所得图形的形状.(直接回答,不必证明)
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