Question

如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3

3

，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，当点R落在矩形ABCD的AB边上时，CP=

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,矩形的性质

专题：

分析：如图，首先作辅助线构造相似三角形；然后借助平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及其性质求出线段BR的长度；借助勾股定理即可求出CP的长．

解答：解：如图，当点R落在矩形ABCD的AB边上时，
过点Q作QK⊥AB于点K；
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形QKBC也为矩形，
∴QK=BC=AD=3

3

；
由题意知：△QRP≌△QCP，
∴RP=CP（设为x），QR=QC（设为y），
∠QRP=∠C=90°；
∵PQ∥BD，
∴

QC

DC

=

PC

BC

，而DC=AB=9，BC=AD=3

3

，
∴

y

x

=

9

3 3

=

3

；
∵∠QKR=∠QRP=∠RBP=90°，
∴∠KQR+∠QRK=∠QRK+∠PRB，
∴∠KQR=∠PRB，
∴△QKR∽△RBP，
∴

QR

RP

=

QK

RB

，而

QR

RP

=

y

x

=

3

，QK=3

3

，
∴RP=3；在直角△BRP中，
由勾股定理得：RP²=RB²+BP²，
即x2=32+(3

3

-x)2，
解得：x=2

3

，
故该题答案为2

3

．

点评：该命题以矩形为载体，以旋转变换为方法，在考查旋转变换的性质及其应用问题的同时，还渗透了对矩形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．