Question

15．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在A的延长线上，且∠A=2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，根据圆周角的性质求得AE⊥BC，根据等腰三角形的性质三效合一的性质得出∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$BAC，进而根据已知条件即可证明∠ABF=90°，从而证明BF是⊙O的切线；
（2）点C作CG∥BF，在Rt△ABE中可求得BE，进一步求得BC，在Rt△CGB中求出CG和GB，再利用平行线分线段成比例可求得．

解答 （1）证明：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$BAC，
∴∠A=2∠CBF，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABF=∠ABE+∠CBF=90°，
∵AB为⊙O直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∠BAE=∠CBF，
∴sin∠BAE=sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠∠BAE=$\sqrt{5}$，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CBG中，sin∠ABE=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABE=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴$\frac{GC}{BF}$=$\frac{AG}{AB}$，
∴BF=$\frac{GC•AB}{AG}$=$\frac{4×5}{3}$=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质及平行线分线段定理的应用，解题的关键是如何利用已知条件中的sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，属于中档题，有一定的难度．