Question

已知在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，且∠BAC=∠BDE．
（1）如图1，若∠BAC=∠BDE=60°，则线段CE与AD之间的数量关系是________；
（2）如图2，若∠BAC=∠BDE=120°，且点D在线段AB上，则线段CE与AD之间的数量关系是________；
（3）如图3，若∠BAC=∠BDE=α，请你探究线段CE与AD之间的数量关系（用含α的式子表示），并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）CE=AD；

（2）CE=AD．
理由：过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=120°
∴∠B=30°，BN=EN，BM=CM，
∴cos∠B==，
∴BE=BD，BC=AB，
∵∠BDE=∠BAC，
∴DE∥AC，
∴，
∴，
∴CE=AD．

（3）CE与AD之间的数量关系是CE=2sinAD．
证明：∵AB=AC，DB=DE，
∴=．
∵∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
∴=，∠ABC=∠DBE，
∴=，∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴=，
过点D作DF⊥BE于点F．
∴∠BDF=∠BDE=，
∴BE=2BF=2BD•sin∠BDF=2BD•sin，
∴=，
∴CE=2sinAD．
分析：（1）由题意易证得△ABD≌△CBE，由全等三角形的对应边相等，即可求得即可求得线段CE与AD之间的数量关系是CE=AD；
（2）首先过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥C于N，即可得∠B=30°，由三角函数的性质，即可得BC=AB，又由∠BDE=∠BAC证得DE∥AC，由平行线分线段成比例定理即可求得CE=AD；
（3）首先由AB=AC，DB=DE，可得=．则可得ABC∽△DBE，然后又可求得△ABD∽△CBE，则=，然后过点D作DF⊥BE于点F．由三角函数的性质即可得CE=2sinAD．
点评：此题考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角函数的性质以及比例变形等知识．此题综合性很强，解题的关键数形结合思想的应用．