如图1.0A=3.0B=6.以A点为顶点在第四象限作等腰直角三角形△ABC．(1)求C点的坐标．(2)在第四象限是否存在一点P．使△PAB≌△CAB?若存在.求出P点坐标,若不存在.说明理由．(3)如图2.Q为y轴负半轴上一个动点.当Q点向y铀负半轴向下运动时.以Q为顶点.在第三象限作等腰三角形△ADQ.过D作DE⊥x轴于点E.下列两个结论:①OQ-DE的值不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图1，0A=3，0B=6，以A点为顶点在第四象限作等腰直角三角形△ABC．
（1）求C点的坐标．
（2）在第四象限是否存在一点P．使△PAB≌△CAB？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，Q为y轴负半轴上一个动点，当Q点向y铀负半轴向下运动时，以Q为顶点，在第三象限作等腰三角形△ADQ，过D作DE⊥x轴于点E，下列两个结论：①OQ-DE的值不变，②OQ+DE的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，说出你的理由并求出其值．

分析（1）证△OBA≌△EAC，推出CE=OA=3，AE=OB=6，即可求出C的坐标；
（2）过P作PQ⊥y轴于Q，证出△PQB≌△BOA，推出BQ=OA=3，PQ=OB=6，求出OQ=9，即可得出P的坐标；
（3）过D作DF⊥y轴于F，求出∠FDQ=∠FQA，根据AAS证△DFQ≌△AOQ，推出FQ=AO=3，推出四边形DEOF是矩形，得到DE=OF，即可求出OQ-DE=FQ=3，得出答案即可．

解答解：（1）过C作CE⊥x轴于E，如图1所示：
则∠AEC=90°=∠AOB，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠EAC=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAC，
在△OBA和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠EAC}&{\;}\\{∠AOB=∠AEC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBA≌△EAC（AAS），
∴CE=OA=3，AE=OB=6，
∴OE=3+6=9，
∴C（9，-3）；
（2）在第四象限内存在一点P，使△PAB≌△CAB，
过P作PQ⊥y轴于Q，如图2所示：
∵与（1）中证明△OBA≌△EAC类似证出△PQB≌△BOA，
BQ=OA=3，PQ=OB=6，OQ=6+3=9，
∴P的坐标是（6，-9），
∴在第四象限内存在一点P，使△PAB≌△CAB，P的坐标是（6，-9）；
（3）①OQ-DE的值不变正确，理由如下：
过D作DF⊥y轴于F，如图3所示：
∵∠DFQ=∠DQA=90°，
∴∠FDQ+∠FQD=90°，∠FQD+∠FQA=90°，
∴∠FDQ=∠FQA，
∵在△DFQ和△AOQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFQ=∠AOQ}\\{∠FDQ=∠AQO}\\{QA=DQ}\end{array}\right.$，
∴△DFQ≌△AOQ（AAS），
∴FQ=AO=3，
∵∠EOF=∠DFQ=∠DEO=90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴DE=OF，
∴OQ-DE=FQ=3，
即OQ-DE的值不变，OQ-DE=3．

点评本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，一次函数上点的坐标特征，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．

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