Question

设二次函数y=ax²+bx+c的图象的对称轴是2x-3=0，在x轴的截距的倒数和为2，且经过点（3，-3）．
（1）试求a、b、c的值；
（2）若y＞1或y＜-3，求x的取值范围；
（3）当x为何值时，y有最大值？并求最大值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的最值,二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点坐标和对称轴方程来求系数的值；
（2）根据（1）中的函数解析式列出关于x的不等式，通过解不等式来求x的值；
（3）把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据方程式直接写出答案．

解答：解：（1）设该抛物线与x轴的交点横坐标是a、b．
则依题意得

1 a + 1 b =2 - b 2a = 3 2 9a+3b+c=-3

，即

- b a c a =2 - b 2a = 3 2 9a+3b+c=-3

解得=

a=-2 b=6 c=-3

．
则该抛物线的解析式为：y=-2x²+6x-3；

（2）解：由（1）知，该抛物线的解析式为：y=-2x²+6x-3．
①当y＞1时，-2x²+6x-3＞1，即x²-3x+2＜0，
整理，得
（x-1）（x-2）＜0，
解得 1＜x＜2
②当y＜3时，-2x²+6x-3＜-3，
整理，得
x（x-3）＞0，
解得 x＜0 或x＞3；

（3）y=-2x²+6x-3=-2（x-

3

2

）²+

3

2

当x-

3

2

=0 即x=

3

2

时，y_最大值=

3

2

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，解答该题时，也可以根据函数图象来解答（2）、（3）题．